O que é a Regra de Crammer?

A Regra de Crammer é uma das formas de achar os valores dos coeficeintes em um sistema linear usando determinantes.

Como é utilizado?

Considere o sistema de equações a seguir:

$$ \begin{cases} a11x+a12y+a13z=u\\\\a21x+a22y+a23z=v\\\\a31x+a32y+a33z=w \end{cases} $$

Dado o sistema, iremos chamar a matriz dos coeficientes de A:

$$A = \begin{bmatrix} a11 & a12 & a13\ a21 & a22 & a23\ a31 & a32 & a33 \end{bmatrix}$$

E seja B a matriz dos termos indepedentes:

$$B = \begin{bmatrix} u\ v\ w \end{bmatrix}$$

Primeiro, devemos fazer o determinante da Matriz dos coeficientes:

Seja Δ o determinante da matriz A.

$$Δ = det\begin{vmatrix} a11 & a12 & a13\ a21 & a22 & a23\ a31 & a32 & a33 \end{vmatrix} = $$

Δ = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 - a31 . a22 . a13 - a32 . a23 . a11 - a33 . a21 . a12

Ao determinar o valor de Δ através do determinante da matriz dos coeficientes, vamos fazer a seguinte operação:

Substitua a matriz dos termos independentes de B na primeira coluna da matriz dos coeficientes e em seguida, calcule o determinante. Seja Δx

$$Δx = det\begin{vmatrix} u & a12 & a13\ v & a22 & a23\ w & a32 & a33 \end{vmatrix} = $$

Δx = u . a22 . a33 + a12 . a23 . w + a13 . v . a32 - w . a22 . a13 - a32 . a23 . u - a33 . v . a12

Determinando x:

$$x = \frac{Δx}{Δ}$$

Substitua a matriz dos termos independentes de B na segunda coluna da matriz dos coeficientes e em seguida, calcule o determinante. Seja Δy

$$Δy = det\begin{vmatrix} a11 & u & a13\ a21 & v & a23\ a31 & w & a33 \end{vmatrix} = $$

Δy = a11 . v . a33 + u . a23 . a31 + a13 . a21 . w - a21 . v . a13 - w . a23 . a11 - a33 . a21 . u

Determinando y:

$$y = \frac{Δy}{Δ}$$

Substitua a matriz dos termos independentes de B na terceira coluna da matriz dos coeficientes e em seguida, calcule o determinante. Seja Δz

$$Δz = det\begin{vmatrix} a11 & a12 & u\ a21 & a22 & v\ a31 & a32 & w \end{vmatrix} = $$

Δz = a11 . a22 . w + a12 . v . a31 + u . a21 . a32 - a21 . a22 . u - a32 . v . a11 - w . a21 . a12

Determinando z:

$$z = \frac{Δz}{Δ}$$

E assim, determinamos x, y e z de tal modo que satisfaça o nosso sistema de equações.

Lembre-se de que para até o R³ (espaço euclidiano tridimensional) você pode usar a Regra de Sarrus e para para qualquer espaço euclidiano, você pode usar o método de Laplace para calcular o determinante.