Conceitos

• Prova: estabelece a verdade das afirmações matemáticas.
• Teorema: é uma afirmação que pode ser mostrada verdadeira.
• Lemma: é normalmente um teorema auxiliar utilizado para provar outros teoremas.
• Corolário: é um teorema que pode ser estabelecido diretamente de um teorema que foi provado.
• Conjectura: é uma afirmação sendo proposta como verdade, mas que precisa ser provada para virar teorema.
• Axioma: premissa considerada necessariamente evidente e verdadeira, porém indemonstrável.

Formas dos Teoremas:

• Muitos teoremas são apresentados na forma condicional .
• Exemplo 1: "se x > y, no qual x e y são números reais positivos, então x² > y²". O que esse teorema realmente significa é:

onde,

• Teoremas também aparecem na forma condicional.
• A implicação deve ser demonstrada nas duas direções.

Preliminares

• Considere as definições a seguir para os exemplos que seguem:

  • Paridade de números inteiros: um inteiro n é par se existe um inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar se existe um inteiro k tal que n = 2k + 1.
  • Números racionais: um número real r é dito racional se existem inteiros p e q, com q diferente de 0, tal que r = p/q.
  • Potência perfeita: um número inteiro n é dito uma potência perfeita se existem números inteiros b > 1 e k > 1 tais que .

Demonstração exaustiva e por Contra-exemplo

• Verifica-se a verdade da conjectura para todos os elementos da coleção.
• Para provar a falsidade da conjectura, basta achar um contra-exemplo.

• Exemplo 2: Prove a conjectura "Para todo inteiro positivo ".

  • Solução: a conjectura é falsa pois não é verdade para todo n: é falsa para n = 4.

Demonstração por casos:

• Uma prova por casos deve cobrir todos os casos possíveis que aparecem em um teorema.

• Exemplo 3: Prove que se n é um inteiro, então n² >= n.

  • i) Quando n = 0: Como 0² = 0, então n² >= n é verdadeiro nesse caso;
  • ii) Quando n >= 1: Multiplicando os dois lados da inequação por n, obtemos n.n >= n.1. Isso implica que n² >= n para n >= 1;
  • iii) Quando n <= -1: Como n² >= 0, segue que n² >= n.

Demonstração direta

• A demosntração direta de uma afirmação da forma :

  • i) assume que o antecedente p é verdadeiro e daí;
  • ii) deduz a conclusão q.
• Normalmente usa-se axiomas, definições, lemmas e teoremas, em conjuntos com regras de inferência, para mostrar que q também deve ser verdade.

• Exemplo 4: Prove o seguinte teorema: *se n é um número ímpar, então n² também é ímpar".

  • i) Como n é ímpar, n = 2k + 1, para ;

  • ii) Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado, n² = (2k + 1)², temos:

    

rearranjando,

portanto, concluímos que n² também é ímpar.

Demonstração por contraposição

• Uma conjectura da forma pode ser provada mostrando-se a sua contrapostiva:

  

• Exemplo 5: Mostre que se 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.

  • i) Primeiro assumimos que n é par (a negação que n é ímpar), ou seja, n = 2k;

  • i) Agora basta verificar que 3n + 2 também é par:

    

  portanto, demonstra-se por contraposição que a afirmativa é verdadeira.

Demonstração por contradição

• Para demonstrar p, assumimos ¬p e mostramos que isso leva a uma contradição;
• Para provar , bastar mostrar .

• Exemplo 6: Mostre que se 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar por contradição.

  • i) Vamos assumir que 3n + 2 é ímpar e n é par;
  • ii) Vimos que no exemplo 5 que se n é par, então 3n + 2 é par;
  • iii) Por contradição, n tem que ser ímpar.

Indução Matemática

• É usada para mostrar que uma dada afirmação é verdadeira para todos os inteiros positivos.

• Por exemplo, para todo :

  • ;
  • é divisível por 3;
  • a soma dos primeiros n inteiros positivos é .

Indução fraca

• Primeiro princípio da indução: Para provar que P(n) é verdade para todo , precisaremos provar o seguinte:

  • P(1) (Passo básico ou base da indução);
  • (Passo indutivo).

• Demonstração usando o primeiro princípio da indução:

  • i) Prove a base da indução;
  • ii) Suponha P(k);
  • iii) Prove P(k + 1).
• Exemplo 7: Mostre que a equação 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² é verdadeira para todo .

• i) Para n = 1, 1 = 1² é verdadeiro. Agora supomos P(k) verdadeiro:

  

  
  

• ii) Usando a hipótese da indução, queremos mostrar P(k + 1), ou seja:

  

  
  

• iii) Mostrando-se a penúltima parcela , procedemos como segue:

  

  

  

Observações:

• Para uma maior fixação do assunto, recomenda-se a resolução by yourself dos exercícios propostos;
• Pode haver diferenças entre o conteúdo disponibilizado e o conteúdo programado da disciplina. Verifique com o professor e/ ou monitores.